在此页面上，您将看到矢量大小以及如何使用其公式计算矢量大小的说明。您还可以了解如何从两点找到模块：其起点和终点。此外，您还将了解如何根据向量的模和向量模的属性来确定向量的分量。您甚至可以通过示例、练习和分步问题进行练习。
向量的模是什么？
向量的大小表示其原点和终点之间的距离。因此，矢量的大小等于该矢量的长度。
正如您在上面的图形表示中看到的，矢量的大小由矢量两侧的垂直条表示：
另一方面，向量的模与向量的范数相同，所以你也可以看到它是这样写的。这就是为什么有些数学家也用每边两个竖条来表示向量的模：
向量模的公式
要找到平面中向量的大小，我们必须应用以下公式：
为了确定向量的大小，我们必须计算其分量平方和的（正）平方根。换句话说，如果我们有以下向量：
其模块为：
例如，我们将使用以下公式计算以下向量的大小：
用原点和终点的坐标计算向量的大小
我们刚刚看到了当我们知道向量的分量时如何确定向量的大小，但是如果我们只知道它的起点和终点会发生什么？
因此，要根据向量的原点和终点坐标计算向量的大小，必须遵循以下两个步骤：
首先我们找到向量的分量。为此，我们需要减去极值减去原点。
然后我们计算用上一节中看到的公式获得的向量的模。
让我们通过一个例子看看这是如何完成的：
计算以该点为原点的向量的大小
最后一点
我们首先需要找到向量的分量，因此我们减去它的端点减去它的原点：
一旦我们知道了向量，我们就可以使用向量幅度公式计算其幅度：
我们将结果保留为平方根，因为它不精确。
如何根据向量的模计算向量的分量
我们已经了解了如何从向量的分量中提取向量的大小，但该过程也可以颠倒过来。换句话说，我们可以通过向量的模来计算向量的分量。
从向量的大小找到向量分量的过程称为向量分解。因此，为了分解矢量，我们显然需要它的大小，以及它与横坐标轴（X 轴）形成的角度。
这样向量的 X 和 Y 分量就可以用三角比来计算：
正如您在图像中看到的，矢量的大小与其分量形成直角三角形，因此可以应用三角学的基本公式。
必须考虑到，与向量的模不同，它的分量可以为负，因为正弦和余弦可以取负值。
作为一个例子，我们将求解向量的向量分解，其大小和与 OX 轴的角度为：
矢量的水平分量等于模乘以角度的余弦：
向量的垂直分量等于模乘以角度的正弦：
所以向量如下：
向量的模属性
模是一种向量运算，具有以下特征：
向量的大小永远不能为负，它始终等于或大于 0。
事实上，唯一存在的幅度为零的向量是零向量，即向量
向量与实数（或标量）乘积的大小相当于标量的绝对值乘以向量的大小。因此，以下等式成立：
三角不等式得到验证：两个向量之和的模分别小于或等于它们各自的模之和。
此外，两个向量之和的大小与点积相关，公式如下：
单位向量
在数学中，单位向量是模等于一的向量。
因此，单位向量的长度是一个单位。
让一个向量的模恰好为 1 看起来非常困难，但实际上很容易找到这种类型的向量：
要找到任何向量的单位向量，只需将其除以其模数：
金子
是单位向量
和
你的模块。
单位向量也称为 versor 或归一化向量。
另外，单位向量与原向量具有相同的方向和方向。
例如，我们将计算以下向量的单位向量：
为了标准化向量，我们首先需要计算它的大小：
最后，我们通过将原始向量除以其模来计算单位向量：
解决向量模块练习
练习1
计算以下向量的大小：
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要计算向量的模，我们必须应用其公式：
练习2
将以下向量从最短到最长排序。
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向量的长度等于其大小。因此，我们需要计算所有向量的模：
因此，从最小到最大长度（或模块）排序的向量是：
练习3
确定原点为该点的向量的大小
最后一点
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要计算它的模，必须首先找到向量。为此，我们减去极值减去原点：
一旦我们知道了向量，就可以使用模数公式计算其模数：
练习4
分解以下向量并找到其分量：
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矢量的水平分量等于模乘以角度的余弦：
向量的垂直分量等于模乘以角度的正弦：
所以向量如下：
在这种情况下，两个分量是相同的，即矢量的倾斜角度为 45°。
练习5
计算与以下向量具有相同方向和方向但模数为 1 的向量。
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方向相同、方向相同但模为1的向量为单位向量。为了计算它，我们首先求向量的模：
现在我们通过将原始向量除以其模来计算单位向量：
练习6
对以下向量进行向量分解并计算其单位向量：
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首先，我们分解向量并找到它的坐标：
所以向量如下：
现在我们通过除以它的模得到的向量来计算单位向量：
请注意，单位向量的分量等于它与 X 轴形成的角度的余弦和正弦。