第五章 定积分与反常积分#
目录#
第五章 定积分与反常积分
目录
1. 背景
2. 定积分
2.1. 定积分的定义
2.2. 定积分存在的充分条件
2.3. 定积分的性质
2.3.1. 可加性
2.4. 积分上限函数
2.5. 定积分的计算
2.5.1. 牛顿-莱布尼茨公式
2.5.2. 换元积分法
2.5.3. 分部积分法
2.5.4. 利用奇偶性和周期性
2.5.5. 利用已有公式
2.5.6. 积分特殊解法
3. 反常积分
3.1. 无穷区间上的反常积分
3.2. 无界函数的反常积分
1. 背景#
前段时间复习完了高数第五章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
2. 定积分#
2.1. 定积分的定义#
定义：
其中，为在上任取的一点。
利用定积分求极限：
若积分 存在，将区间等分，此时， 取 ， 由定积分的定义得
2.2. 定积分存在的充分条件#
若 在 上连续，则 必定存在。
若 在 上有界，且只有有限个间断点，则 必定存在。
若 只有有限个第一类间断点，则 必定存在。
2.3. 定积分的性质#
2.3.1. 可加性#
定积分具有区间可加性
2.4. 积分上限函数#
定义：
变上限的积分是其上限的函数，常称之为积分上限函数。
定理：
如果在区间上连续，则
如果为上的连续函数，为可导函数，则
2.5. 定积分的计算#
2.5.1. 牛顿-莱布尼茨公式#
设在上连续，为在上的一个原函数，则有
2.5.2. 换元积分法#
设 在区间 上连续，函数 满足以下条件
在 或 上有连续导数，且 则
2.5.3. 分部积分法#
2.5.4. 利用奇偶性和周期性#
设 为 上的连续函数 ，则
设 是以 为周期的连续函数，则对任给数 ，总有
2.5.5. 利用已有公式#
$$
\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx ,\text{其中连续}
\tag{5.17}
$$
2.5.6. 积分特殊解法#
对某些积分 难以处理时，有时通过变形将 变为另一种形式 ，然后把两者结合在一起
2.5.6.1. 类型1
与原式相加得
2.5.6.2. 类型2
与原式相加得
3. 反常积分#
3.1. 无穷区间上的反常积分#
定义：
设 为 上的连续函数，如果极限
存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即
这时也称反常积分
收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分
发散。
设 为 上的连续函数，则可类似的定义函数 在无穷区间 上的反常积分
设 为 上的连续函数，如果反常积分
都收敛，则称反常积分 收敛，且
如果至少有一个发散，则称
发散。
常用结论：
3.2. 无界函数的反常积分#
如果函数 在点 的任一邻域内都无界，那么点 称为 函数 的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也称为瑕积分。
定义：
设 在 上连续，点 为函数的瑕点。如果极限
存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的反常积分，记作 ，即
这时也称反常积分
收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分
发散。
设 在 上连续，点 为函数 的瑕点。则可类似的定义函数 在区间 上的反常积分
设 在 上除 点外连续，点 为函数 的瑕点。则可类似的定义函数 在区间 上的反常积分
都收敛，则称反常积分 收敛，且
如果至少有一个发散，则称
发散。
常用结论：